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Idee1.PNG Castigliano.PNG Berechnung.PNG

Ich habe einen fest eingespannten Stab. Ich möchte nun berechnen, welche Kraft F ich am Kraftangriffspunkt benötige, um eine Biegung von x mm am Ende des Stabes zu erreichen.

Eine Skizze ist im Anhang.

Meine erste Idee war die, wie auf Bild (Idee 1) zu sehen. Leider kann man diese Formel nicht mehr nach F auflösen, da es im Tangens drin hängt. Hier wäre also eine Näherungslösung gefragt.

Idee 2: Verfahren von Castigliano.
Wie auf Bild "Castigliano" zu sehen, habe ich am Stab-Ende eine Hilfskraft angesetzt.
Meine Berechnung ist auf Bild "Berechnung" zu sehen. Eine Monsterformel 
Löse ich die Formel von y* nun nach F auf, und setze Werte ein, erhalte ich ein negatives Ergebnis.

Mache ich etwas grundlegend falsch, und wenn ja was? Oder ist es mit diesem Verfahren nicht möglich?
Wie wäre es noch möglich, die erforderliche Kraft zu ermitteln?

Mit Idee 1 und folgenden Werten:

L = 1000 mm
l = 20 mm
y = 5
E = 210000 N/mm^2
I = 2485 mm^4

habe ich eine Kraft von F = ca. 13000 N als Ergebnis erhalten. Dies erscheint mir eigentlich plausibel.

Ich würde es aber auf jeden Fall auch gerne einer Gegenprüfung unterziehen, um zu sehen, ob ich mit beiden Verfahren auf das selbe Ergebnis komme.
Außerdem gefällt es mir nicht, dass es mit dieser Formel nur über eine Näherung geht. Da ich meine Berechnung dokumentieren muss, ist es nicht so schön wenn da steht "Näherungslösung" oder "hat der Taschenrechner gemacht". Ich würde es schon gerne analytisch dokumentieren.

Danke und Gruß
Rivago 

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Hallo, die erste Formel stimmt schon.

Bei elastischer und kleiner Verformung ist das eine genaue Lösung.
Weil sich dann alles linear elastisch verhält.

Der cos von 5 ° ist 0,996 . Größer kann die Abweichung bis dahin auch nicht sein.

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Klaus

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Hallo Klaus,

danke für deine Antwort 

Ich muss aber möglicherweise plastisch verformen, im kleinen Bereich. Wir haben hier keine Erfahrung und müssen testen, ob elastisch reicht oder ob wir in den plastischen Bereich rein müssen. Wahrscheinlich aber wirklich plastisch.

Wie kommst du auf 5°? Meinst du weil da steht y = 5?

Dann muss ich mich entschuldigen, denn da fehlt die Einheit. y = 5 mm und y steht für die Durchbiegung am Stabende.

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Zitat:

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Original erstellt von Rivago:
Meine erste Idee war die, wie auf Bild (Idee 1) zu sehen. Leider kann man diese Formel nicht mehr nach F auflösen, da es im Tangens drin hängt. Hier wäre also eine Näherungslösung gefragt.

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Was genau meinst Du da denn jetzt mit Näherungslösung?
tan(sehr klein) = sehr klein ?
Oder meinst Du sowas wie Runge-Kutta?
Wenn Du das tief genug durchziehst (was heutzutage ja kein allzu großes Problem mehr sein sollte) ist das Ergebnis einer solchen 'Näherungslösung' doch ebenso gut wie ein analytisches Ergebnis.

Oder verstehe ich jetzt irgendwas falsch?

Gruß, Torsten

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Die 5 ° habe ich geschätzt, es könnte ja einer auf die Idee kommen
der Endpunkt des Stab es verschiebt sich auch noch in Längsrichtung.

Die obige Formel ist nur für elastische Verformung.
Für kleine plastische Verformung kann die auch noch funktionieren.

Plastische Verformung ist doch nicht mehr genau zu berechnen,
weil die Streckgrenze Re nicht genau bekannt ist.

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Klaus

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@Torsten

Mit Näherungslösung meine ich bspw. Runge-Kutta (was du ja gesagt hast), oder Newton, oder eine Reihenentwicklung.
Denn es ist es nicht möglich, die Formel so umzustellen: F = ...
Da das F im tan drin hängt.
Es ist also kein analytisches Ergebnis möglich.
Du hast Recht, es wäre genau genug, aber etwas analytisches wäre mir doch lieber.

Hmm, dann hab ich wohl ein Dilemma 

Es geht darum, dass wir in unsere Maschine etwas einbauen sollen, um etwas gerade zu drücken. Die Stäbe haben einen Taumel und dieser soll beseitigt werden. Wir müssen sehr nah an der Einspannung drücken. (ich darf hier leider nicht erklären warum)

Wir wollen nun wissen (bzw. ich, denn ich betreue das Projekt), wie wir unsere Maschine auslegen müssen, denn es wirken aufgrund des geringen Hebelarms ja sehr hohe Kräfte. Welche Kraft muss aufgebracht werden und wie kann man diese aufbringen (bspw. hydraulisch)?! Ist die Maschine für diese Kräfte geeignet oder verzieht sich der Grundaufbau?
Usw.. solche Fragen müssen geklärt werden.
Wir greifen nun auf "Erfahrungswerte" des Kunden zurück. Der hat schon sowas, was aber so langsam kaputt geht und nicht mehr gebaut wird. Deshalb will er es von uns. Wir haben 2 Videos. Da sieht man, dass sich der Stab am Ende ca. 5 mm bewegt.
Welche Kräfte dabei wirken konnte uns der Kunde aber auch nicht sagen.

Deshalb jetzt die Annahme von uns: Durchbiegung von mind. 5 mm muss erreicht werden --> welche Kraft ist dazu erforderlich, wenn man an Stelle x drückt?

Wie kann ich diesem Rätsel auf die Schliche kommen? 

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Wie groß ist den der rechnerische Unterschied zwischen iterativer Lösung (z.B. Runge Kutta) und der Annahme:
tan(sehr klein) = sehr klein

also einfach Deine erste Formel ohne das 'tan'

?

Wenn das bei 13000N Zielwert nur einen Unterschied von meinetwegen 200N (ich habe jetzt nicht nachgerechnet) ausmacht, sollte das doch ausreichen.

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Hallo Torsten 

Ich habe es nicht iterativ selbst nachgerechnet, sondern habe es den Taschenrechner "solven" lassen.
Die Annahme tan(sehr klein) = sehr klein habe ich noch nicht getroffen. Werde das morgen mal machen. Auf die Idee bin ich noch nicht gekommen, danke für den Hinweis 

Aber trotzdem mal von dieser Formel abgesehen, gibt es keine weitere Möglichkeit?
Ich war mir eigentlich sicher, dass ich hier mit Castigliano voran komme, aber das führt zu gar nichts. Ich weiß aber echt nicht wieso. Bin inzwischen auch der festen Überzeugung, dass meine Rechnungen richtig sind, richtig integriert, richtig abgeleitet. Das muss stimmen.
Aber wieso funktioniert es nicht?

Wie würdet ihr denn die Sache angehen?
Es gibt wie gesagt keine Daten, auf die man sich berufen kann. Hier muss man sich leider wirklich rantasten und vllt. das schlimmste annehmen, damit die Konstruktion dann auch hält. Also als Beispiel, dass man eine Biegung von 5 mm benötigt, aber in Wirklichkeit eigentlich 2 mm reichen würden.
Irgendwo muss ich ja ansetzen 
Aus diesen Daten, also wie hoch ist die benötigte Kraft, kann ich ja dann auch auf die Kräfte und Momente an der Einspannung rückschließen, was ich auf jeden Fall machen muss.

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Als erstes kommt einem da ja FEM in den Sinn.
Die Bedingungen und die Zielsetzung scheint ja ziemlich klar zu sein.
Modelle sind ja vermutlich auch vorhanden.
Und mit Deiner ersten Formel kann man die Ergebnisse ja dann auch vergleichen.

Kein Zugang zu einem Solver?

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Also in dem Bereich, wo Du Dich bewegst:

tan(0,00498227)=0,00498231

Mir wäre das gut genug.

Umgestellt nach F käme dann für die y=5 heraus:

F=13133,8N

War Dein Taschenrechner viel genauer?

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Danke Torsten  

Nein, mein Taschenrechner war nicht genauer   Ich wusste das genau Ergebnis nicht mehr, aber ich weiß noch, das es etwas über 13000 N lag. Aber dein Ergebnis sieht gut aus  

Wenn der Fehler so klein ist, kann man das ja wirklich so machen  

Zugang zu einem Solver hab ich übrigens nicht und mit FEM kann ich noch nichts anfangen. Habe das noch nicht erlernt.

Trotzdem würde mich mal noch interessieren, wieso hier Castigliano nicht funktioniert?!     Kannst du mir das sagen?

Und um noch einmal auf meine erste Formel zurückzukommen: Klaus sagte ja, dass diese Formel nur für elastische Verformung ist.
Was ist nun, wenn ich bei 5 mm Durchbiegung (am Balkenende) in Nähe der Einspannstelle eine geringe plastische Verformung verursache, ohne es genau zu wissen (wovon ich aber stark ausgehe!)?
Gilt die Formel dann nicht mehr? Oder muss ich die Ergebnisse anders deuten?

[Diese Nachricht wurde von Rivago am 23. Feb. 2016 editiert.]

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Wenn Du bei y=5 bereits im plastischen Bereich sein solltest, dann stimmt die berechnete Kraft nicht mehr.
Ab Elastizitätsgrenze Rp beginnt das Material zu fließen, und dahinter erhöht sich die Kraft nicht mehr linear.
Die tatsächliche erforderliche Kraft, um y=5mm zu erzielen, wäre also kleiner als Deine berechnete.

Kannst Du das nicht schnell überprüfen?
Mb an Einspannung = F*l
Wb = I / amax
Sigma = Mb/Wb -> Vergleich mit Werkstoffwerten

Deine Monsterformel möchte ich jetzt eigentlich nicht überprüfen...
Ich habe jetzt schon Kopfschmerzen.  

Gruß, Torsten

[Diese Nachricht wurde von Torsten Niemeier am 23. Feb. 2016 editiert.]

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Okay, dann ist ja eigentlich alles gut   Angenommen ich biege 5 mm bei einer errechneten Kraft von 13 kN und bin vermutlich im plastischen Bereich --> Kraft falsch --> wahrscheinlich reichen schon 12,5 kN

Dann würde es ja passen. Ich krieg einer größere Kraft raus und bin auf jeden Fall auf der sicheren Seite.

Die Formel musst du nicht prüfen, hätte ich auch keinen Bock drauf  
Nehmen wir mal an, dass sie stimmt.
Stelle ich das nun nach F um, und rechne mit folgenden Werten:

L = 1000 mm
l = 20 mm
y = 5 mm
I = 2485 mm^4
E = 210000 N/mm^2

so erhalte ich F = -5,55 N  

Irgendwas stimmt da gewaltig nicht.

Also entweder ich habe mich verrechnet/falsch integriert/abgeleitet, oder aber meine aufgestellten Momente (ganz am Anfang im Integral im Zähler) stimmen nicht... ODER aber dieses Verfahren funktioniert bei diesem Fall nicht. Aber dann weiß ich echt nicht warum  

Danke Torsten  

Edit: amax wäre in meinem Fall dann D/2, oder?

Ich kann es morgen mal prüfen und melde mich wieder 

[Diese Nachricht wurde von Rivago am 23. Feb. 2016 editiert.]

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Werkstoffkennwerte.PNG

Hallo Torsten

Ich wollte es heute probieren, stehe aber gewaltig auf dem Schlauch 

Wie ich die vorherrschende Biegespannung Sigma B berechne weiß ich, das ist kein Problem. Jetzt muss ich ja mit Sigma_bzul vergleichen. Aber wo krieg ich das her?

Ich habe folgende Werkstoffkennwerte, siehe Bild. Wie krieg ich jetzt den Wert für Sigma_bzul? Ist das in dem Fall einfach Rp, also bei mir 685 N/mm^2? Oder muss da ein Faktor drauf, und wenn ja welcher?

Meine Belastung erfolgt quasistatisch.

Danke für deine Hilfe 

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" Oder muss da ein Faktor drauf "
Wenn es nur ums richten geht, muß da kein Sicherheitsfaktor drauf.

Es gibt Biegebelastung, aber keine Biegespannung.
Beim Biegen entstehen Zug- und Druckspannungen, sonst nichts.
( Querkraft ensteht auch noch , aber die lassen wir jetzt weg )

Die entscheidende Größe ist hier die Dehngrenze oder Streckspannung.
Re oder Rp.

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Klaus

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Zitat:

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Original erstellt von N.Lesch:
Es gibt Biegebelastung, aber keine Biegespannung.

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Also zu meiner Zeit gab es die noch.
Sowohl im Dubbel als auch bei Udo Lattek.
Wann ist die denn abgeschafft worden?
Und wofür steht jetzt das 'b' bei 'Sigma b'?

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Zitat:

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Original erstellt von N.Lesch:
Die entscheidende Größe ist hier die Dehngrenze oder Streckspannung.

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Tja, die gibt es bei metallischen Werkstoffen dagegen nicht.
Und bei den Werten, die gepostet wurden, gehe ich mal nicht von einem Kunststoff aus.

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Zitat:

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Original erstellt von Rivago:
Ist das in dem Fall einfach Rp, also bei mir 685 N/mm^2?

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Ja. Darüber hinaus wird die Verformung plastisch.

Gruß, Torsten

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Danke an euch zwei 

Also ich habe es auch als "Biegespannung" kennengelernt. Aber ist ja gut möglich, dass das jeder ein bisschen anders nennt. Da sollte man sich nicht streiten 

Habe mir vorhin ein Excel-Dokument mit der Formel erstellt, damit ich nicht jedes mal von Hand rechnen muss.
Ich gebe den Stabdurchmesser, die Gesamtlänge und den Abstand "Kraftangriffspunkt - Einspannung" an, sowie die gewünschte Durchbiegung am Stabende. Außerdem noch das E-Modul.
Weiterhin wird das Flächenträgheitsmoment berechnet, welches ja auch in der Formel für die Durchbiegung drin steckt.

Dann spuckt er mir die Kraft aus 

Lange Rede kurzer Sinn.. Habe es vorhin mit bestimmten Werten getestet (weiß die Werte gerade nicht mehr), und hatte dann an der Einspannstelle eine Biegespannung von 1600 N/mm^2. Meine zulässige Biegespannung liegt nun also bei 685 N/mm^2. Man sieht also, dass ich dies deutlich überschreite und im plastischen Bereich bin (ziemlich deutlich).

Kann ich mir irgendwie errechnen, wie sehr ich plastisch reingehen muss, um einen Taumel von bspw. 0,5 mm zu richten?

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Seite 9, 4. Zeile:

http://maschinenbau.square7.ch/documents/mechanik12/Formelsammlung.pdf

Mit Deinen Werten ergibt das F=13133,8N.

Gruß Alex

edit:
schon etwas spät um die Uhrzeit ..
Beim Castiliano ist vermutlich dein 2. Biegemoment  für den Bereich 0 bis (L-l) falsch.
Mbi = FH * (L-l+x) + F * x  ??
Du hast hier Mbi = FH * x + F * (x - (L-l))

[Diese Nachricht wurde von alex am 24. Feb. 2016 editiert.]

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Zitat:

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Original erstellt von alex:

Mit Deinen Werten ergibt das F=13133,8N.

Gruß Alex

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Ach ne. 

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Woher kommt denn die Formel aus Idee 1?   

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Na Seite 9, Zeile 1.

Kombination aus Durchbiegung und Biegewinkel.
Und nachher haben wir uns dann auf tan(klein)=klein geeinigt.

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Hallo Torsten 

Um auf meinen Beitrag von gestern zurückzukommen, ist es möglich dies zu berechnen oder ist das eher schwierig, da plastisch? 

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Die Plastizität ist nicht das Problem. 

Du weißt doch gar nicht genau wie hoch die Streckgrenze ist.
Die ist nur als Mindestwert angegeben, wie ich weiter oben schon erwähnte.
Die Streckgrenze muß auch nicht über den ganzen Querschnitt gleich sein, außen kann das Halbzeug wg. der Bearbeitung unter Druck stehen.
Dann hast du noch die Rückfederung.

Bevor Du anfängst zu rechnen brauchtst Du erst einmal eine genaue
Spannungs- Dehnungskurve.
Das kannst Du auch mit FEM kaum rechnen.

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Klaus

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Okay, schade 

Also wird es wohl auf Versuche hinauslaufen müssen, richtig?

Danke für eure Hilfe