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Hallo zusammen,

mich würde mal interessierten ob ein Kreis krümmungsstetig ist, bzw ob ich behaupten kann das ein Kreissegment an einer beliebigen Stelle C2 stetig ist? Hab nämlich gelesen das sich Kreise auch durch NURBS-Kurven beschreiben lassen. Wer toll wenn mir da jemand weiter helfen könnte!!!

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Hallo KKMadMax und willkommen im Forum.
Ohne es nun genau mathematisch zu Beweisen zu wollen (oder können, denn das ist bei mir schon zu lange her #peinlich#) ist meines erachtens der Kreis krümmungsstetig.
Hat was mit der 2. Ableitung der Kreisfunktion zu tun, welche beim Kreis konstant, also stetig ist.

Trivial ausgedrückt: Nimm dir einen beliebigen Punkt auf dem Kreis. Dieser hat eine Krümmung (Krümmung ist der Kehrwert des Radius, also 1/r). Der Nachbarpunkt dieses Punktes auf dem Kreis hat den gleichen Wert. dessen Nachbarpunkt ebenfalls. Folglich ist die Krümmung auf dem gesamten Kreisverlauf Konstant, also stetig.

P.S. selbst wenn(!) sich ein Kreis als Nurbs darstellen ließ (was ich bezweifle!), wäre eine Nurbs nicht ebenfalls intern krümmungsstetig?

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gruß, Tom 

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Danke für deine schnelle Antwort Tom!

Ich kenn es halt von den NURBS-Kurven und B-Spline-Kurven her, dass die C2-stetig sind, also krümmungsstetig. Aber bei diesen Kurven ändert sich ja der radius an jeder stelle oder? Das tut ja ein Kreis nicht.

lg Max

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Stimmt! Ein Kreis ändert seine Krümmung nicht! also ist die Krümmung konstant! eine Konstanz ist aber auch eine Stetigkeit, d.h. dieser Graph weist keine Lücken auf!

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gruß, Tom 

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Hallo,

Ein Kreis ist in Bezug auf seine Krümmung ein Sonderfall da diese immer konstant ist. Kurven welche Kümmungsstetig sind ändern ihren Radius, jedoch wird die zweite Ableitung dieser Kurvenfunktion, wir beim Kreis auch, ebenfalls niemals 0. D.h. Die Funktion der Kurve an sich ist eben stetig!

Im Umkehrschluß darf die Zweite Ableitung einer Funktion niemals 0 werden um das Kriterium der Krümmungsstetigkeit zu erfüllen, der Radius darf sich aber sehr wohl ändern.

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MFG Daniel

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Super vielen Dank euch! Habt mir echt geholfen!
lg
max

ps: echt ein super Forum

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Servus

Zitat:

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Im Umkehrschluß darf die Zweite Ableitung einer Funktion niemals 0 werden um das Kriterium der Krümmungsstetigkeit zu erfüllen, der Radius darf sich aber sehr wohl ändern.

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Soweit ich mich noch an mein Studium erinnern kann ist das nicht korrekt:
Krümmungstetigkeit bedeutet, dass die zweite (oder war es die dritte) Ableitung keine Sprünge (also stetig ableitbar ist) hat
Beispiel: Eine Sinusfunktion ist krümmungsstetig, aber jede Ableitung hat Nullstellen)

Gruß
Bernd

PS: Hier gab es schon mal eine Diskussion dazu.

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Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht.

[Diese Nachricht wurde von bgrittmann am 14. Aug. 2012 editiert.]

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Hallo Bernd,

Ja das stimmt den die 3 te Ableitung der Sinusfubktion gibt -cos(x). D.h. Die Funktion "pendelt" um die x-Achse. Verschiebst du die Funktion in + oder - y dann kann die dritte Ableitung niemals 0 werden. Die erste auch nicht aber die zweite den es gibt ja immer noch Wendepunkte.

Ich denke mein Ansatz mit der 0 ist aber trotzdem falsch. Die Krümmungsstetigkeit setzt nämlich vorraus das die Ableitungen der Funktion links und rechts neben einem gedachten Punkt gleich sind!

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MFG Daniel

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Kleiner Abiss zu "Stetigkeiten":

Hat Kurve Löcher -> Kurve nicht Punktstetig
Hat 1. Ableitung Löcher -> Kurve nicht tangentenstetig
Hat 2. Ableitung Löcher -> Kurve nicht krümmungsstetig
Hat 3. Ableitung Löcher -> Kurve nicht krümmungsänderungsstetig (eher philosofisch, da in Catia nicht manipulierbar)

So, nun hoffe ich nur noch, dass mich kein Mathematiker haut ;-)

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gruß, Tom 

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Wie schon erwähnt worden ist, ist konstante Krümmung und Krümmungsstetig zweierlei. Letzteres heißt "nur" dass die Krümmung von einem Punkt auf dessen Nachbar nicht einfach hüpft (sprich eben unstetig ist). Klar, wenn man sich eine konstante Funktion anschaut, ist die zwangsläufig auch stetig (immerhin hüpft sie nicht).
Was bislang falsch beschrieben wurde, ist, dass die Krümmung die 2. Ableitung sei und somit wenn diese stetig ist, auch die Kurve stetig ist.Die Formel wird durch die erste und zweite Ableitung definiert und kann auf Wiki gefunden werden (hier empfehl ich die Formel aus 1.3.2).
Das heißt im Klartext: ist die 2. Ableitung stetig, kann durch eine unstetige 1. Ableitung die Kurve immernoch krümmungsunstetig werden.

So nun zum Thema NURBS:
Zunächst muss man wissen, dass NURBS für non uniform rational B-Splines steht.
non uniform heißt, dass der Parameterwert nicht auf das intervall [0,1] beschränkt ist.
Das entscheidende Wort damit mit Splines Kreise erzeugbar sind ist rational. Ich will an der Stelle nicht in die Theorie gehn was da passiert aber: Mit nichtrationalen B-Splines gehen Kreise nicht, mit rationalen gehts.

Jetzt noch kurz zu meiner Qualifikation:
Ich bin Mathestudent und sitz z.Z. an meiner Masterarbeit zum Thema B-Splines

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