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  Verringerung der Steifigkeit zunehmender Elementanzahl

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Fortgeschrittene explizite Strukturmechanik mit LS-DYNA, ein Seminar am 16.09.2025
Autor Thema:  Verringerung der Steifigkeit zunehmender Elementanzahl (5941 mal gelesen)
enra
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erstellt am: 06. Dez. 2010 21:21    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities

Moin.

Ich bin auf der Suche nach eine plausiblen (und hoffentlich richtigen) Erklärung, warum mit zunehmender Elementzahl die Steifigkeit einer Struktur abnimmt und dann gegen den wahren Wert konvergiert. Dass dem so ist, wird in 95% aller FE-Bücher beschrieben...nur, warum, das fand ich bisher nicht.

Ich habe mir mal die üblichen Formeln für Ansatzfunktionen und Elementsteifigkeiten etc. angesehen (vielleicht nicht richtig?) und keinen Hinweis gefunden.

Also kleine Denkhilfe ein Beispiel: ein prismatischer Stab bzw. Kragträger soll aus Volumenelementen modelliert werden. Die Form ist so, dass selbst mit einem Element die Geometrie 100%ig korrekt widergegeben würde. D.h. Die Fläche ändert sich nicht mit zunehmender Netzfeinheit. E-Modul ist natürlich auch immer gleich. In den Formeln ist nichts zu finden, was eine Änderung der Gesamtsteifigkeit erwarten lässt: E,A,I,l etc. sind ja immer gleich. Und dennoch....die Ergebnisse ändern sich, die Struktur wird weicher mit erhöhter Elementanzahl. Nur weiß ich wie gesagt gerade nicht, warum.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Danke und ahoi.

Enra

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ChristophN
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erstellt am: 07. Dez. 2010 08:38    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für enra 10 Unities + Antwort hilfreich

Hallo,
die Darstellung der Geometrie ist ja nicht das einzige, was die FEM leisten muss. Über die Ansatzfunktionen wird eine Annahme über den Verlauf der Verschiebungen im Element getroffen (bei deinen linearen 8 Knoten Elementen eben der bilineare Verlauf). Da diese Verschiebungsverteilung jedoch bei nur einem Element nicht den wirklichen Verschiebungen entspricht (beim Kragträger wissen wir ganz gut, dass die Verschiebungen nichtlinear über der Länge verteilt sind), kann ein einziges Element also die wirklichen Verschiebungen nicht gut darstellen. Dass die Steifigkeit deswegen größer ist, folgt (beispielsweise) aus dem Prinzip vom Minimum des elastischen Gesamtpotentials oder allgemeiner aus dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen. Ein kleiner Beweis dazu ist in Kreißig/Benedix, Höhere Technische Mechanik gegeben. Bei Verwendung von mehr Elementen können auch die wirklichen Verschiebungen besser dargestellt werden, somit nimmt die Steifigkeit mit zunehmender Elementzahl ab. Ich hoffe, das war plausibel?

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smittytomcat
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erstellt am: 07. Dez. 2010 10:16    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für enra 10 Unities + Antwort hilfreich

Versuchen wir mal einen simplen Vergleich.
Wenn ich eine krumme Kurve aus geraden Stücken nachbilden will um damit die Fläche zu berechnen (z.B. die Trapezregel) dann wird die Fäche um so genauer je größer die Anzahl der Teilstücke ist.
Schlicht gesagt, die verwendete Teilung muß die auftretende Verforumg genügend genau darstellen können.
Um die Geometrie eines prismatischen Stabs darzustellen , z.B. bei einem voll- und am anderen Ende teileingespannten Balkens reicht vielleicht ein Volumenelement (z.B. mit Zwischenknoten) über die Länge.
Um aber die Verformung unter einer mittigen Einzellast darzustellen ist das zu wenig. Das Element hat aufgrund des Zwischenknoten einen parabolischen Verformungsansatz, aber mit dieser einen Parabel kann ich halt die Biegelinie nicht abbilden. Über den Daumen gepeilt brauche ich dazu schon 3 Parabeln, oder wenn wir wieder die Elementeinteilung betrachten 3 Element über die Länge.

Gruß
Gerd

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enra
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erstellt am: 07. Dez. 2010 12:57    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities

Moin.

Zitat:
Original erstellt von ChristophN:
Dass die Steifigkeit deswegen größer ist, folgt (beispielsweise) aus dem Prinzip vom Minimum des elastischen Gesamtpotentials oder allgemeiner aus dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen.

Das vorstehende ist also die physikalisch/mathematische Begründung... scheint auch Sinn zu machen. Muss wohl dazu noch etwas tiefer buddeln gehen.

Zitat:
Original erstellt von ChristophN:
Ein kleiner Beweis dazu ist in Kreißig/Benedix, Höhere Technische Mechanik gegeben.

Ok,danke, das werde ich mir dann mal anschauen.

Zitat:
Original erstellt von ChristophN:
Bei Verwendung von mehr Elementen können auch die wirklichen Verschiebungen besser dargestellt werden, somit nimmt die Steifigkeit mit zunehmender Elementzahl ab.

Hier erkenne ich - diesen Textausschnitt für sich genommen - keinen kausalen Zusammenhang. Ich könnte ja auch eventuell von der anderen Seite gegen den richtigen Wert konvergieren...was ja aber nicht passiert.

Enra

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enra
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erstellt am: 07. Dez. 2010 13:02    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities

Moin.

Zitat:
Original erstellt von smittytomcat:
Versuchen wir mal einen simplen Vergleich.
Wenn ich eine krumme Kurve aus geraden Stücken nachbilden will um damit die Fläche zu berechnen (z.B. die Trapezregel) dann wird die Fäche um so genauer je größer die Anzahl der Teilstücke ist.
Schlicht gesagt, die verwendete Teilung muß die auftretende Verforumg genügend genau darstellen können.
Um die Geometrie eines prismatischen Stabs darzustellen , z.B. bei einem voll- und am anderen Ende teileingespannten Balkens reicht vielleicht ein Volumenelement (z.B. mit Zwischenknoten) über die Länge.
Um aber die Verformung unter einer mittigen Einzellast darzustellen ist das zu wenig. Das Element hat aufgrund des Zwischenknoten einen parabolischen Verformungsansatz, aber mit dieser einen Parabel kann ich halt die Biegelinie nicht abbilden. Über den Daumen gepeilt brauche ich dazu schon 3 Parabeln, oder wenn wir wieder die Elementeinteilung betrachten 3 Element über die Länge.

Gruß
Gerd


Danke für die Antwort. Leider wird mir hieraus nicht klar, warum die Steifigkeit geringer wird. Warum wird sie nicht höher? Das war die eigentlich Frage.   

Enra

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ChristophN
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erstellt am: 07. Dez. 2010 13:17    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für enra 10 Unities + Antwort hilfreich

 
Zitat:
Original erstellt von enra:
Hier erkenne ich - diesen Textausschnitt für sich genommen - keinen kausalen Zusammenhang. Ich könnte ja auch eventuell von der anderen Seite gegen den richtigen Wert konvergieren...
Eben das kann nicht sein, denn unter allen zulässigen Verschiebungsfeldern minimiert das wirkliche Verschiebungsfeld das elastische Gesamtpotential. Mit mehr Elementen ist man näher an der wirklichen Verschiebungslösung und somit näher am Minimum, die Steifigkeit nimmt also ab.

[Diese Nachricht wurde von ChristophN am 07. Dez. 2010 editiert.]

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smittytomcat
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Mach doch mal einen praktischen Test. Nimm zu Anfang mal eins, dann zwei usw. Elemente über die Länge und vergleiche unter einer konstanten Last (meinetwegen Kragträger) die Durchbiegung am Ende.
Die Durchbiegung wird zu größerrößer, aber diese Zunahme wird mit zunehmender Elementteilung kleiner . Wenn Du das dann aufträgst bekommst Du ein Hyperbel die sich einem unteren Wert nähert.
So, was passiert denn wenn bei gleicher Last die Durchbiegung größer wird? Das kann nur bedeuten das die Steifigkeit kleiner wird : w = F/ c
Gruß
Gerd

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Moin.

Zitat:
Original erstellt von smittytomcat:
Mach doch mal einen praktischen Test. Nimm zu Anfang mal eins, dann zwei usw. Elemente über die Länge und vergleiche unter einer konstanten Last (meinetwegen Kragträger) die Durchbiegung am Ende.
Die Durchbiegung wird zu größerrößer, aber diese Zunahme wird mit zunehmender Elementteilung kleiner . Wenn Du das dann aufträgst bekommst Du ein Hyperbel die sich einem unteren Wert nähert.
So, was passiert denn wenn bei gleicher Last die Durchbiegung größer wird? Das kann nur bedeuten das die Steifigkeit kleiner wird : w = F/ c
Gruß
Gerd

Der Test (habe ich natürlich gemacht und letztendlich zeigt sich das auch bei allen Konvergenzanalysen im Rahmen normaler Projektarbeit) zeigt doch nur, dass das stimmt, was in den Büchern steht...aber eben nicht, WARUM. Das ist die mich drückende Frage. 

Enra

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smittytomcat
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erstellt am: 07. Dez. 2010 14:09    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für enra 10 Unities + Antwort hilfreich

Literatur:  Klaus Jürgen Bathe: Finite-Element-Methoden, Springer Verlag
uva

Gerd

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erstellt am: 09. Dez. 2010 15:27    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für enra 10 Unities + Antwort hilfreich

die Steifigkeit wird dadurch 'kleiner' das das Model genauer rechnet - dadurch, das eine geeignete Elementgroesse fuer eine bestimmte Position unter Netzverfeinerung erreicht wird. Mit Ansatzfunktionen linearer Elemente bspw kann man den realen Verschiebungsverlauf linear, den Spannungsverlauf als konstanten Wert ueber 1x Element darstellen. Nimmt man also 1x Element in einem Bereich wo die Spannung nicht konstant ist (die Verschiebung nicht linear ist) so kann man nur eine (mehr oder weniger gute oder schlechte) Aproximation des dort vorliegenden Zustandes erhalten. Nimmt man ausreichend Elemente entlang der Variation (Verschiebung, Spannung) so kann das Netz den wahren Zustand abbilden, da die elementweise (lineare/konstante/o.a.) Approximation dann ausreicht um der Variation zu folgen, diese mit befriedigender Genauigkeit anzunaehern. Das Element kann nicht besser sein als es seine Ansatzfunktion(en) unter Einhaltung geometrischer Einsatzgrenzen (aspect ratio etc.) zulaesst.

------------------
Gruesse,
Frank Exius
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erstellt am: 09. Dez. 2010 16:26    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities

Moin.

Zunächst danke für die Antwort. Vielleicht habe ich mich nicht richtig ausgedrückt. Ich versuche es noch einmal anders: mir ist klar, dass die Ergebnisse mit höhere DOF-Anzahl genauer werden. Mir war/ist nicht klar, warum die Konvergenz so herum läuft. Man könnte sich ja auch als unvoreingenommener Mensch vorstellen, dass die Konvergenzkurve anders herum (sozusagen von oben) und auf den gleichen Wert zuläuft.
Oder anders ausgedrückt: warum sind wenige Elemente "zu steif" und nicht "zu weich"? Konkreter: warum ist die Verformung in der Regel zu gering und nicht zu groß? Ich könnte ja auch mit einem linearen Ansatz eine Verformung errechnen, die zu groß (wieder als naiver, unvoreingenommener Mensch gesehen).
Ich denke, die Antwort wurde weiter oben gegeben: es kann u.a. mit dem elastischen Potential erklärt werden. Ich bin aber weiter an Antworten interessiert.

Danke schon mal.

Enra

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erstellt am: 09. Dez. 2010 18:39    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für enra 10 Unities + Antwort hilfreich

ob die Verschiebung von oben oder unten konvergiert haengt wohl von der verwendeten Elementtechnology ab. Herleitung, demonstriert an einem Element welches eine spezifische Elementtechnologie verwendet, da passe ich (schwieriger Kunde grumble, grumble..).

Ich wurde eine Analogie benutzen (ich bin zwar nicht Jesus, aber trotzdem): man kann den Kreisinhalt u.a. als Näherungskonstruktion durch ein mit den Ecken oder mit den Kanten den Kreisumfang beruehrendes Vieleck annaehern. Im ersteren Fall konvergiert der Flaecheninhalt von unten, im letzteren Fall von oben, auf den wahren Wert - haengt von der verwendeten Technik ab.

------------------
Gruesse,
Frank Exius
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erstellt am: 09. Aug. 2011 16:31    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für enra 10 Unities + Antwort hilfreich

Ich weiss nicht ob ich die Frage 100% richtig verstehe, aber ich mache mal einen Versuch.

F = u * K = u * (A*E/l) beschreibt die Gesamtsteifigkeit des Modells.
In Realität setzt sich diese Gesamtsteifigkeit durch das Aufsummieren (Integration) der Elementensteifigkeiten zusammen.

Aufsummieren (Integration) bildet die die Fläche unter einer Funktion ab.

Wir haben es also mit einem Näherungsverfahren zu tun und die Steifigkeit wird in diesem Fall nicht schlechter sondern mit mehr Elementen bildest Du die Steifigkeit des Systems zunehmend genauer ab.

Wenn also in der Gleichung F = u * K (F, die Randbedingungen sind unveränderlich vorgegeben)die Summe der Verformungen genauer werden und damit gegen einen Wert ansteigen muß gleichzeitig auch die Summe der Steifigkeit genauer werden und damit fallen. Hier schliesse ich mich voll inhaltlich ChristophN an.

Und je nach Betrachtungsweise lin. oder nicht lin. habe ich es ja auch mit einer quasi konstanten Systemsteifigkeit zu tun oder die Systemsteifigkeit verändert sich mit zunehmender Verformung.

Für mich ist Steifigkeit der Widerstand den ein System den äußeren Kräften dem Verformungsversuch entgegensetzt. Bleiben die Kräfte gleich muß bei steigender Verformung die Steifigkeit sinken.
Steigende Verformung ist eine Folge eines feineren Netzes.

Ich denke die Frage sinkender Steifigkeit bei feinerer Netzdichte (steigender Verformung) ergibt sich sehr wohl aus K = F/u.
Bleibt die Frage warum mit feinerem Netzt die Verformung zunimmt. Auch in diesem Punkt schließe ich mich ChritophN an - hängt mit Ansatzfunktion, etc. zusammen - siehe z.B. FEM für Praktiker.

------------------
Gruß
Rene

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sanderos
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erstellt am: 03. Jan. 2012 16:15    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für enra 10 Unities + Antwort hilfreich

Also auch wenn es schon lange her ist, vielleicht darf ich mich an der Frage versuchen. Die Frage ob die Finite Element Methode eine zu große oder zu kleine Steifigkeit berechnet, hängt von den verwendeten Methoden ab (Deformationsmethode, Kraftmethode). Bei der (üblicherweise) verwendeten Deformationsmethode wird die Steifigkeit von "oben" angenähert(ergibt also zu kleine Verschiebungen verglichen mit einer analytischen Lösung), bei der Kraftmethode von "unten" (vice versa). Der Grund darin liegt in der Dehnungsenergie, die beim Ansatz mit dem Minimum des totalen Potentials immer überschätzt wird bzw. die Komplementärenergie die immer unterschätzt wird und die dazu benutzt wird die Steifigkeitsmatrix zu berechnen.

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