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Hallo zusammen,

ich versuche grade herauszufinden, ob es (näherungsweise) eine relativ simple Proportionalität zwischen Getriebegröße und Belastbarkeit gibt.

Angenommen ein einstufiges Stirnradgetriebe sei für das Drehmoment X ausgelegt.

Nun werden beide Zahnräder genau doppelt so groß gemacht (bei gleicher Dicke). Der Einfachheit halber bleibt die Zähnezahl gleich.

Stimmt dann in erster Näherung (aus Zahnraddurchmesser und Hertz'scher Pressung) die Rechnung, dass das doppelt so große Getriebe 2 x Wurzel 2 ≈ 2,83 mal so hoch belastbar ist?

(lt. Rechner nimmt die Hertz'sche Zylinderpressung bei einer Verdoppelung der Abmessungen um Wurzel 2 ab)

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Ich hatte hier schon 'ne Menge stehen, aber alles wieder gelöscht und verkürze meine Antwort auf ein
"vergiß es".
Neben allen Fragezeichen zu dem verlinkten Rechner und der von Dir (wie?) gefundenen Korrelation - zu einer Getriebeauslegung gehört viel mehr als nur die Berücksichtigung der zulässigen Pressung. Da kannst Du auch einen vorbeilaufenden Schonsteinfeger fragen, ob das Getriebe halten wird - die Wahrscheinlichkeit einer zutreffenden Antwort dürfte kaum geringer sein als bei der von Dir beabsichtigten Abschätzung.

Jürgen

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Bildung kommt nicht vom Lesen, sondern vom Nachdenken über das Gelesene. (Carl Hilty)

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Also: wenn das Zahnradpaar doppelt so groß gemacht wird, werden auch die Zähne und deren Krümmungsradien (Evolventen) alle doppelt so groß.

Angenähert lassen sich die Evolventen (Zahnoberflächen) der beiden Zahnräder als Zylinder betrachten.

Nun kommt der genannte Rechner für die Hertzsche Pressung ins Spiel.

Rechnet man dort die Pressung für ein Zylinderpaar mit x mm Radius, und für ein weiteres Zylinderpaar mit dem doppelten Radius 2x aus, stellt man fest, dass die Pressung bei dem doppelt so großen Zylinderpaar um den Faktor Wurzel 2 kleiner ist als bei dem kleineren Zylinderpaar.

Zusätzlich sind naturgemäß die Zahnraddurchmesser und dadurch die Hebelarme bei dem doppelt so großen Räderpaar entsprechend doppelt so groß, und damit die Kräfte in der Verzahnung halb so groß (bei gleichem Drehmoment).

Folglich ergibt sich ein Gesamtfaktor von 2 mal Wurzel 2, was das doppelt so große (und gleich dicke) Getriebe mehr aushält. Selbstverständlich ist dies nur die erste Näherung, sollte aber von daher als Abschätzung zu gebrauchen sein, insbesondere da die Hertzsche Pressung berücksichtigt ist.

Vielen Dank noch mal an alle für jeden Versuch zum Mitdenken.

[Diese Nachricht wurde von eber-hard am 19. Feb. 2019 editiert.]

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Moin!

Nichts gegen Schornsteinfeger, das sind fachkundege und fast immer freundliche Leute, aber als grobe Näherung für eine nötige Getriebegröße halte ich dann doch den eingangs geschilderten Ansatz für sinnvoller. Dass es bei der genauen rechnerischen Abschätzung der Festigkeit auch Faktoren gibt, in denen die Bauteilgröße negativ wirkt (in geringem Maß), nehme ich mal als bekannt an.

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Roland  
www.Das-Entwicklungsbuero.de

It's not the hammer - it's the way you hit!

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Hallo Roland und danke für Deinen Kommentar,

darf ich aus Deiner Antwort schließen, dass das Ergebnis der Überschlagsrechnung aus Deiner Sicht hinkommt --  dass also ein um den Faktor "X" proportional vergößertes Stirnradpaar (bei unveränderter Dicke) ungefähr um den Faktor "X mal Wurzel X" höher belastbar ist?

Gruß

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Ja, so ungefähr, zumindest was die Hertzsche Pressung angeht und wenn man (was jedoch realitätsfern ist) den Modul beibehält und den vergrößerten Überdeckungsfaktor ignoriert. Natürlich gibt es dazu noch eine ganze Litanei von vielen weiteren Faktoren zur exakten Berechnung, aber grundsätzlich ist es so wie von Dir beschrieben.

Genau solche Betrachtungen, nämlich Faktoren und Potenzen einer Änderung einschätzen zu können, sehe ich als wichtigen Teil der beruflichen Befähigung an.

Z. B. die Durchbiegung eines Kragbalkens oder einer frei stehenden Welle (ein zugegebenermaßen im Vergleich zu einem Zahnradgetriebe einfaches Beispiel).
Natürlich kann man die Formel in einem Buch nachsehen, aber besser ist, wenn man sie auswendig weiß, und noch besser ist, wenn man sieht, was darin passiert und was eine Änderung bewirkt.
Der Betrag der Durchbiegung steigt linear mit der Kraft, ist invers linear zum E-Modul, steigt mit der ditten Potenz der Länge, fällt linear mit der Breite, fällt mit der dritten Potenz der Dicke bei gleicher Breite oder mit der vierten Potenz des Durchmessers bei rundem Querschnitt (Flächenträgheitsmoment). Die Materialbeanspruchung fällt dagegen nur mit der zweiten (oder dritten bei rund) Potenz der Dicke (Widerstandsmoment).

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Roland  
www.Das-Entwicklungsbuero.de

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Besten Dank Dir Roland,

freue mich, dass der Ansatz Deine grundsätzliche Zustimmung findet. Danke auch für die treffliche Analogie der überschlägigen (und gleichermaßen exakten) Abschätzung an einem Biegebalken.

Zurück zum Getriebe: Ich nehme an, man würde dann bei der Ver-X-fachung des Durchmessers eher einen kleineren Getriebemodul wählen. Und dadurch würde der Faktor "X hoch 2/3" für die höhere Belastbarkeit eines X mal so großen Getriebes tendenziell eher noch vergrößert, richtig?

Dann noch einen Schritt weiter gedacht. Meinerseits sollte die obige Betrachtung schlussendlich der Abschätzung der Größe eines Planetengetriebes im Vergleich zu einem gleich stark belastbaren Stirnradgetriebe dienen.

Ein Planetengetriebe (mit drei Planetenrädern) hat ja drei mal so viele Zahneingriffe wie ein simples Stirnradgetriebe. Von daher sollte ein Planetengetriebe überschlägig drei mal so hoch belastbar sein wie das Stirnradgetriebe mit vergleichbaren Teilkreisdurchmessern.

Nun soll das Planetengetriebe so weit verkleinert werden, bis wieder dieselben Belastungsverhältnisse an der Verzahnung vorliegen wie bei dem als Ausgangspunkt betrachteten Stirnradgetriebe. Es ist also zu ermitteln, um wieviel der Zahnraddurchmesser des Planetengetriebes verkleinert werden kann, damit die Belastung in der Verzahnung wieder 3x so hoch wird. Das ist der umgekehrte Fall wie bei der obigen Ausgangsrechnung.

Verkleinert man somit die Durchmesser der Zahnräder des Planetengetriebes um den Faktor 3^2/3 (X mal Wurzel X, mit X=3) -- damit dessen Belastung drei mal so hoch und damit wieder gleich hoch wie bei dem Stirnradgetriebe wird -- ergibt sich ein um etwa die Hälfte verkleinerter Zahnraddurchmesser (~48% des Ausgangsdurchmessers).

Lange Rede kurzer Sinn, ein Planetengetriebe mit drei Planeten sollte überschlagsmäßig mit halb so großen Zahnrädern ausgelegt werden können wie ein gleich stark belastbares einstufiges Stirnradgetriebe.

Kann man diesen Gedankengang so freigeben...?

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Schau Dir mal den Katalog eines Getriebeherstellers an.
Da findest Du Baureihen von Getrieben in fein abgestimmten Größen, mit Angaben zu zulässigem Drehmoment und Leistung.
Daraus kannst Du vielleicht am ehesten eine Gesetzmäßigkeit zwischen Abmessung, Leistung und Moment herleiten.

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Gert Dieter 

Freiheit ist auch immer die Freiheit des Andersdenkenden.
Rosa Luxemburg

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Nachdem sich nun schon zwei Schornsteinfeger, ähm Ingenieure, hier ein wenig selber demontiert haben (und es nicht mal gemerkt :) -- liegt meine Hoffnung auf Antwort nun wieder auf der Expertise von Herrn Dr.-Ing. Roland!

Viele Grüße

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Besser wäre es mal die mathematische Gleichung zu bestauen, anstatt diesen online Rechner, dann würde einem auffallen dass es bei einen doppelt so großen Zahnrad gleichen Modul der Faktor 2 ist, mathematisch korrekt sqrt4. Flucht übrigens auch dieser ominöse online Rechner, von 100/200 auf 200/400 und halbe Kraft = 1/2 * Flächenpressung.

Ansonsten kann man das sehr einfach zeichnerrisch lösen. Der selbe Durchmesser wie bei einen Planetenradsatz mit zwei Stirnrädern gleichbleibender Überstzung und Modul ergibt eine um 1/0,75 = 33% größere Flächenpressung.
Und natürlich erhöht sich der Modul mit zunehmenden Teilkreisdurchmesser. Hier muss dann natürlich noch das Zahnradflankenspiel und allgemein die Geräuschentwicklung berücksichtigt werden. Aber ein höheres Modul hat aufgrund mehr Material eine größere Steifigkeit. Nicht umsonst sind Zahnräder mit einen Durchmesser von z.B. über einen Meter so "grob" verzahnt. 

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Zitat:

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Original erstellt von eber-hard:
...und es nicht mal gemerkt

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Na na na! Immer nett bleiben!

Deine Betrachtungen sind nioht falsch, aber arg theoretisch, und da sind die obigen Warnungen und Empfehlungen durchaus angebracht. Schon so mancher hat sich kraft der Theorie überlegen gefühlt und ist dann krachend auf dem Bauch gelandet.

So schön und nützlich es ist, Berechnungen anstellen zu können, ist es doch nicht gut, ausschließlich der Berechnung zu glauben, und es ist erst recht nicht gut, sich mit nur einem einzigen Aspekt der Berechnung zu beschäftigen.

Und richtig schlecht ist, die handfesten Erkenntnisse aus der Praxis gering zu schätzen. Das gewöhn' Dir mal ganz schnell wieder ab! 

Reale Beispiele zu studieren und zu vergleichen ist der beste Rat überhaupt!

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Roland  
www.Das-Entwicklungsbuero.de

It's not the hammer - it's the way you hit!

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Hmm… über den Beitrag von Duke711 möchte ich mal lieber den Mantel des Schweigens breiten. Und Roland, ich mach mir Sorgen: Du wirst doch nicht auch noch zu den Schornsteinfegern überlaufen -- nach Deinem schönen Beitrag zur Balkenbiegung! Genau um einen solchen Ansatz geht es ja hier.

Also nochmal stichwortartig:

• Macht man ein Stirnradgetriebe 3x so groß, so wird es näherungsweise 3x Wurzel 3 belastungsfähiger (-> 3x wegen dem dreimal größeren Hebelarm, und zusätzlich noch Wurzel 3 mal stärker wegen der verringerten Hertzschen Pressung)
  
• die Proportionalität zwischen Zahnraddurchmesser D und Belastbarkeit B ist also in erster Näherung wie folgt:
  B = D x sqrt (D)
  das ist das gleiche wie
  B = D ^ 1,5 oder
  B = D ^ 3/2
  in Worten: die Belastbarkeit eines Stirnradpaars steigt proportional zum Durchmesser hoch 1,5
  
• Jetzt zum Planetengetriebe:
  ein Planetengetriebe mit gleichgroßen Zahnrädern wie ein einstufiges Stirnradgetriebe ist in erster Näherung dreimal so belastbar (da es drei Zahneingriffe hat)
  
• Nun die Frage, um welchen Faktor muss ein vorhandenes Stirnradgetriebe überschlagsmäßig vergrößert werden, damit es ebenfalls dreimal so hoch belastbar wird?
  Nehmen wir wieder obige Formel her:
  Belastbarkeit = Durchmesser ^ 3/2 | aufgelöst nach Durchmesser:
  Durchmesser = Belastbarkeit ^ 2/3 | "3" für dreimal so hohe Belastung eingesetzt:
  Durchmesser = 3 ^ 2/3
  = 2,08
  
• Ergebnis: ein Stirnradgetriebe muss um den Faktor 2,08 vergrößert werden, um dreimal so hoch hoch belastbar zu sein wie vorher.
  
• ERGO: ein Stirnradpaar, das ein Planetengetriebe mit drei Planeten ersetzen soll, muss 2,08 mal so große Zahnräder haben wie das Planetengetriebe.
  

Ich wär total happy, wenn jemand mit aktueller Erfahrung in der Getriebeberechnung mir das so *als erste Näherung* freigeben könnte, oder mich ggf. drauf hinweisen, ob hier irgendwo etwa noch ein massiver Denkfehler vorliegt.

Freundliche Grüße

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