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Thema: sinus45° = 0,707 Warum? (3437 mal gelesen)
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MartinKern Mitglied Mischung Konstrukteur/Werkzeugmacher
Beiträge: 862 Registriert: 30.10.2002 AIS2021 Win 10 pro 64 Bit ************************* Siemens 828D Step4
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erstellt am: 14. Feb. 2008 18:23 <-- editieren / zitieren --> Unities abgeben:
Hallo! Wie man weiß, ist der sinus von 45° 0,707. Soweit so gut. Auch besitze ich die Kenntniss des Einheitskreises. Meine mich sehr quälende Frage wäre folgende: Wie hat man diesen Zahlenwert ermittelt? Wenn ich mir das Dreieck so ansehe, Hypothenuse Länge 1 (Einheitskreis), und der Winkel von 45°. Das ist doch ein bisschen wenig um den Wert der Gegenkathete(0,707) zu ermitteln? Wie haben die alten Griechen, Perser,Ägypter oder wer auch immer diesen Zahlenwert ermittelt? Bzw. nicht nur diesen einen sondern alle anderen Werte auch. Bitte erlöst mich von meiner Qual! Im Netz finde ich nichts darüber. Gruß, Martin Eine Antwort auf diesen Beitrag verfassen (mit Zitat/Zitat des Beitrags) IP |
Doc Snyder Ehrenmitglied V.I.P. h.c. Dr.-Ing. Maschinenbau, Entwicklung & Konstruktion von Spezialmaschinen
Beiträge: 13133 Registriert: 02.04.2004 Autodesk Inventor
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erstellt am: 14. Feb. 2008 19:39 <-- editieren / zitieren --> Unities abgeben: Nur für MartinKern
Moin! Sinus von 45° ist ja einfach, das ist nämlich Wurzel 0,5, und zwar exakt! Und das lässt sich bei 45° auch äußerst einfach aus Hypothenuse und Kathete ermitteln, nämlich mit dem Satz des Pythagoras. Für andere Winkel wird es schwieriger. "0,707" ist jedoch falsch; die Dezimalzahl für Wurzel 0,5 hat unendlich viele Stellen; mein Taschenrechner kommt bis 0,707106781185. Außerdem bekommt er für sin(45°) genau besehen etwas anderes heraus, nämlich 0,707106781186. Das ist aber schon Rechnerungenauigkeit aufgrund der unterschiedlichen Ermittlungsprozeduren für die Winkelfunktionen und für die Wurzelfunktion. Beides sind Reihenentwicklungen, d.h. man kann sie zwar immer genauer machen, beliebig genau, so weit man mag, jedoch niemals absolut genau, denn es wird immer eine weitere Stelle geben *). So haben es schon die alten Griechen oder werauchimmer gemacht, und so macht es auch heute noch jeder Rechner. "Zwischenzeitlich", d.h. über Jahrtausende, behalf man sich mit "Tafeln", also umfangreichen Ergebnislisten für möglichst viele fein gestufte Winkel. Je teurer desto enger und desto mehr Stellen. (* Den Beweis dafür kenne ich jetzt nicht, er sollte aber in besseren Mathebüchern zu finden sein. Und dass es im www nichts zu dem Thema zu finden gibt, glaube ich nicht.) ------------------ Roland www.Das-Entwicklungsbuero.de Eine Antwort auf diesen Beitrag verfassen (mit Zitat/Zitat des Beitrags) IP |
flavus Mitglied Techniker+Familienerhalter
Beiträge: 1378 Registriert: 09.04.2005 ATI 3450 Win7/64 Creo2.0 produktiv Windchill 10.0 nimmermehr :-(
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erstellt am: 14. Feb. 2008 20:29 <-- editieren / zitieren --> Unities abgeben: Nur für MartinKern
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MartinKern Mitglied Mischung Konstrukteur/Werkzeugmacher
Beiträge: 862 Registriert: 30.10.2002
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erstellt am: 14. Feb. 2008 22:03 <-- editieren / zitieren --> Unities abgeben:
Hallo! Danke zunächst für eure Antworten. OK, 45° war ein schlechtes Beispiel, wie wäre es mit55°? Das mit der Genauigkeit ist mir auch klar, 0,707 hatte ich halt gerade im Kopf. ( Zitat: Für andere Winkel wird es schwieriger.
Genau da liegt das Problem. Zitat: So haben es schon die alten Griechen oder werauchimmer gemacht, und so macht es auch heute noch jeder Rechner.
Wie so? Das ist mir nicht klar. Sie müssen den Zahlenwert ja errechnet haben, zunächst mal egal mit welcher Genauikeit. So ähnlich wie bei pi. Einfach etwas ins Verhältnis setzen und schon hab ich den Wert
Zitat: welche Bettlektüre man sich wohl in nächster Zeit zulegen könnte.
Ich werde mal eine Buchhandlung aufsuchen und sehen was es da so gibt, gute Idee! Danke nochmal für eure Mithilfe, gute Nacht, Martin
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Doc Snyder Ehrenmitglied V.I.P. h.c. Dr.-Ing. Maschinenbau, Entwicklung & Konstruktion von Spezialmaschinen
Beiträge: 13133 Registriert: 02.04.2004 Autodesk Inventor
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erstellt am: 14. Feb. 2008 23:12 <-- editieren / zitieren --> Unities abgeben: Nur für MartinKern
Zitat: Original erstellt von MartinKern: Einfach etwas ins Verhältnis setzen und schon hab ich den Wert
Durchaus, durchaus! Setze einfach die Summe der Kanten eines regelmäßigen Polygons mit unendlich vielen Ecken ins Verhältnis zum Durchmesser, und schon hast Du den Wert für Pi. Danach brauchst Du dann auch keine Bettlektüre mehr. ------------------ Roland www.Das-Entwicklungsbuero.de [Diese Nachricht wurde von Doc Snyder am 14. Feb. 2008 editiert.] Eine Antwort auf diesen Beitrag verfassen (mit Zitat/Zitat des Beitrags) IP |
Hohenöcker Ehrenmitglied V.I.P. h.c. Ingenieur
Beiträge: 2378 Registriert: 07.12.2005
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erstellt am: 15. Feb. 2008 09:31 <-- editieren / zitieren --> Unities abgeben: Nur für MartinKern
Es gibt eine Reihenentwicklung, Annäherung der Sinusfunktion durch ein Polynom n-ten Grades. Aus meiner alten Schulformelsammlung: sin x = x/1! - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + . . . Das kannst Du zu Fuß bis zu beliebiger Genauigkeit ausrechnen. Für Cosinus heißt sie: cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + . . . ------------------ Gert Dieter Eine Antwort auf diesen Beitrag verfassen (mit Zitat/Zitat des Beitrags) IP |
CADmium Ehrenmitglied V.I.P. h.c. Maschinenbaukonstrukteur
Beiträge: 13508 Registriert: 30.11.2003 ACAD MECHANICAL POWERPACK 2000 auf WINNT
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erstellt am: 15. Feb. 2008 09:43 <-- editieren / zitieren --> Unities abgeben: Nur für MartinKern
IMHO werden die alten Griechen einfach mit der ihnen möglichen Genauigkeit gemessen haben.. Einen Kreis mit 1m (oder was auch immer , Meter gab es ja noch nicht) Radius gezeichnet, Winkel eingezeichnet, Gegenkathete gemessen = 0,707m (vom was auch immer ) und damit hatten sie die Winkelspezifische Verhältniszahl SINUS ... das mit der Reihenentwicklung kam IMHO erst später ------------------ - Thomas - "Bei 99% aller Probleme ist die umfassende Beschreibung des Problems bereits mehr als die Hälfte der Lösung desselben." Eine Antwort auf diesen Beitrag verfassen (mit Zitat/Zitat des Beitrags) IP |
Doc Snyder Ehrenmitglied V.I.P. h.c. Dr.-Ing. Maschinenbau, Entwicklung & Konstruktion von Spezialmaschinen
Beiträge: 13133 Registriert: 02.04.2004 Autodesk Inventor
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erstellt am: 16. Feb. 2008 16:38 <-- editieren / zitieren --> Unities abgeben: Nur für MartinKern
Zitat: Original erstellt von CADmium: ...das mit der Reihenentwicklung kam IMHO erst später
Kann sein, aber wann? Ich hab mal ein bisschen gesucht und bisher nur Folgendes gefunden: "Der griechische Astronom Hipparchos (190-120 v.Chr.) erstellte eine Tafel von trigonometrischen Sehnenfunktionen, um die Länge der Sehne für die einzelnen Winkel zu finden." aus: http://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten Sehne ist so gut wie Sinus, aber so eine Tafel kann er durchaus noch durch Abmessen ermittelt haben. Wer bietet mehr? ------------------ Roland www.Das-Entwicklungsbuero.de [Diese Nachricht wurde von Doc Snyder am 16. Feb. 2008 editiert.] Eine Antwort auf diesen Beitrag verfassen (mit Zitat/Zitat des Beitrags) IP |
MartinKern Mitglied Mischung Konstrukteur/Werkzeugmacher
Beiträge: 862 Registriert: 30.10.2002
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erstellt am: 18. Feb. 2008 01:12 <-- editieren / zitieren --> Unities abgeben:
Hallo! Danke für eure Antworten. Komme leider erst jetzt dazu dies zu lesen. Wenn ich ein wenig Glück habe, stellt mir ein Bekantter einen befreundeten Mathematikprofessor vor. Den werd ich dann mal ausquetschen und berichten. Gruß, Martin Eine Antwort auf diesen Beitrag verfassen (mit Zitat/Zitat des Beitrags) IP |
Charly Setter Moderator
Beiträge: 11977 Registriert: 28.05.2002
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erstellt am: 18. Feb. 2008 13:01 <-- editieren / zitieren --> Unities abgeben: Nur für MartinKern
Zitat: Original erstellt von Doc Snyder: [QUOTE]Original erstellt von CADmium: [i] Sehne ist so gut wie Sinus, aber so eine Tafel kann er durchaus noch durch Abmessen ermittelt haben.
Und die Winkel haben die alten Griechen konstruiert (Stichwort: Konstruktion einer Winkelhalbierenden). Das konnten die "alten Knacker" schon ------------------ Der vernünftige Mensch paßt sich der Welt an; der unvernünftige besteht auf dem Versuch, die Welt sich anzupassen. Deshalb hängt aller Fortschritt vom unvernünftigen Menschen ab. (George Bernard Shaw) Eine Antwort auf diesen Beitrag verfassen (mit Zitat/Zitat des Beitrags) IP |
Doc Snyder Ehrenmitglied V.I.P. h.c. Dr.-Ing. Maschinenbau, Entwicklung & Konstruktion von Spezialmaschinen
Beiträge: 13133 Registriert: 02.04.2004 Autodesk Inventor
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erstellt am: 18. Feb. 2008 23:13 <-- editieren / zitieren --> Unities abgeben: Nur für MartinKern
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adamsh Mitglied Forschung und Entwicklung
Beiträge: 842 Registriert: 27.05.2006 Halbwegs Systemadministration und -entwurf....
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erstellt am: 19. Feb. 2008 18:48 <-- editieren / zitieren --> Unities abgeben: Nur für MartinKern
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