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Autor Thema:  sinus45° = 0,707 Warum? (3437 mal gelesen)
MartinKern
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Mischung Konstrukteur/Werkzeugmacher


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Beiträge: 862
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erstellt am: 14. Feb. 2008 18:23    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities

Hallo!
Wie man weiß, ist der sinus von 45° 0,707. Soweit so gut. Auch besitze ich die Kenntniss des Einheitskreises. Meine mich sehr quälende Frage wäre folgende: Wie hat man diesen Zahlenwert ermittelt? Wenn ich mir das Dreieck so ansehe, Hypothenuse Länge 1 (Einheitskreis), und der Winkel von 45°. Das ist doch ein bisschen wenig um den Wert der Gegenkathete(0,707) zu ermitteln? Wie haben die alten Griechen, Perser,Ägypter oder wer auch immer diesen Zahlenwert ermittelt? Bzw. nicht nur diesen einen sondern alle anderen Werte auch.
Bitte erlöst mich von meiner Qual! Im Netz finde ich nichts darüber.
Gruß,
Martin

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Doc Snyder
Ehrenmitglied V.I.P. h.c.
Dr.-Ing. Maschinenbau, Entwicklung & Konstruktion von Spezialmaschinen



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Autodesk Inventor

erstellt am: 14. Feb. 2008 19:39    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für MartinKern 10 Unities + Antwort hilfreich

Moin!

Sinus von 45° ist ja einfach, das ist nämlich Wurzel 0,5, und zwar exakt! Und das lässt sich bei 45° auch äußerst einfach aus Hypothenuse und Kathete ermitteln, nämlich mit dem Satz des Pythagoras. Für andere Winkel wird es schwieriger.

"0,707" ist jedoch falsch; die Dezimalzahl für Wurzel 0,5 hat unendlich viele Stellen; mein Taschenrechner kommt bis 0,707106781185. Außerdem bekommt er für sin(45°) genau besehen etwas anderes heraus, nämlich 0,707106781186. Das ist aber schon Rechnerungenauigkeit aufgrund der unterschiedlichen Ermittlungsprozeduren für die Winkelfunktionen und für die Wurzelfunktion.

Beides sind Reihenentwicklungen, d.h. man kann sie zwar immer genauer machen, beliebig genau, so weit man mag, jedoch niemals absolut genau, denn es wird immer eine weitere Stelle geben *). So haben es schon die alten Griechen oder werauchimmer gemacht, und so macht es auch heute noch jeder Rechner. "Zwischenzeitlich", d.h. über Jahrtausende, behalf man sich mit "Tafeln", also umfangreichen Ergebnislisten für möglichst viele fein gestufte Winkel. Je teurer desto enger und desto mehr Stellen.

(* Den Beweis dafür kenne ich jetzt nicht, er sollte aber in besseren Mathebüchern zu finden sein. Und dass es im www nichts zu dem Thema zu finden gibt, glaube ich nicht.)

------------------
Roland  
www.Das-Entwicklungsbuero.de

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flavus
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erstellt am: 14. Feb. 2008 20:29    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für MartinKern 10 Unities + Antwort hilfreich

MartinKern
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Mischung Konstrukteur/Werkzeugmacher


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Beiträge: 862
Registriert: 30.10.2002

erstellt am: 14. Feb. 2008 22:03    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities

Hallo!
Danke zunächst für eure Antworten. OK, 45° war ein schlechtes Beispiel, wie wäre es mit55°? Das mit der Genauigkeit ist mir auch klar, 0,707 hatte ich halt gerade im Kopf.

(

Zitat:
Für andere Winkel wird es schwieriger.

Genau da liegt das Problem.

Zitat:
So haben es schon die alten Griechen oder werauchimmer gemacht, und so macht es auch heute noch jeder Rechner.

Wie so? Das ist mir nicht klar. 
Sie müssen den Zahlenwert ja errechnet haben, zunächst mal egal mit welcher Genauikeit. So ähnlich wie bei pi. Einfach etwas ins Verhältnis setzen und schon hab ich den Wert


Zitat:
welche Bettlektüre man sich wohl in nächster Zeit zulegen könnte.

Ich werde mal eine Buchhandlung aufsuchen und sehen was es da so gibt, gute Idee!

Danke nochmal für eure Mithilfe,
gute Nacht,
Martin


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Doc Snyder
Ehrenmitglied V.I.P. h.c.
Dr.-Ing. Maschinenbau, Entwicklung & Konstruktion von Spezialmaschinen



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Beiträge: 13133
Registriert: 02.04.2004

Autodesk Inventor

erstellt am: 14. Feb. 2008 23:12    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für MartinKern 10 Unities + Antwort hilfreich

   
Zitat:
Original erstellt von MartinKern:
Einfach etwas ins Verhältnis setzen und schon hab ich den Wert    
Durchaus, durchaus! Setze einfach die Summe der Kanten eines regelmäßigen Polygons mit unendlich vielen Ecken ins Verhältnis zum Durchmesser, und schon hast Du den Wert für Pi.

Danach brauchst Du dann auch keine Bettlektüre mehr.        

------------------
Roland  
www.Das-Entwicklungsbuero.de

[Diese Nachricht wurde von Doc Snyder am 14. Feb. 2008 editiert.]

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Hohenöcker
Ehrenmitglied V.I.P. h.c.
Ingenieur



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erstellt am: 15. Feb. 2008 09:31    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für MartinKern 10 Unities + Antwort hilfreich

Es gibt eine Reihenentwicklung, Annäherung der Sinusfunktion durch ein Polynom n-ten Grades. Aus meiner alten Schulformelsammlung:

sin x = x/1! - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + . . .

Das kannst Du zu Fuß bis zu beliebiger Genauigkeit ausrechnen. Für Cosinus heißt sie:

cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + . . .

------------------
Gert Dieter 

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CADmium
Ehrenmitglied V.I.P. h.c.
Maschinenbaukonstrukteur



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Beiträge: 13508
Registriert: 30.11.2003

ACAD MECHANICAL POWERPACK 2000
auf WINNT

erstellt am: 15. Feb. 2008 09:43    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für MartinKern 10 Unities + Antwort hilfreich

IMHO werden die alten Griechen einfach mit der ihnen möglichen Genauigkeit gemessen haben..
Einen Kreis mit 1m (oder was auch immer , Meter gab es ja noch nicht) Radius gezeichnet, Winkel eingezeichnet, Gegenkathete gemessen = 0,707m (vom  was auch immer ) und damit hatten sie die Winkelspezifische Verhältniszahl SINUS ... das mit der Reihenentwicklung kam IMHO erst später

------------------
  - Thomas -
"Bei 99% aller Probleme ist die umfassende Beschreibung des Problems bereits mehr als die Hälfte der Lösung desselben."

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Doc Snyder
Ehrenmitglied V.I.P. h.c.
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Autodesk Inventor

erstellt am: 16. Feb. 2008 16:38    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für MartinKern 10 Unities + Antwort hilfreich

 
Zitat:
Original erstellt von CADmium:
...das mit der Reihenentwicklung kam IMHO erst später
Kann sein, aber wann?

Ich hab mal ein bisschen gesucht und bisher nur Folgendes gefunden:
"Der griechische Astronom Hipparchos (190-120 v.Chr.) erstellte eine Tafel von trigonometrischen Sehnenfunktionen, um die Länge der Sehne für die einzelnen Winkel zu finden." aus: http://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten

Sehne ist so gut wie Sinus, aber so eine Tafel kann er durchaus noch durch Abmessen ermittelt haben.
 
Wer bietet mehr?

------------------
Roland  
www.Das-Entwicklungsbuero.de

[Diese Nachricht wurde von Doc Snyder am 16. Feb. 2008 editiert.]

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MartinKern
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erstellt am: 18. Feb. 2008 01:12    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities

Hallo!
Danke für eure Antworten. Komme leider erst jetzt dazu dies zu lesen. Wenn ich ein wenig Glück habe, stellt mir ein Bekantter einen befreundeten Mathematikprofessor vor. Den werd ich dann mal ausquetschen und berichten.
Gruß,
Martin

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Charly Setter
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Zitat:
Original erstellt von Doc Snyder:
  [QUOTE]Original erstellt von CADmium:
[i]
Sehne ist so gut wie Sinus, aber so eine Tafel kann er durchaus noch durch Abmessen ermittelt haben.
 

Und die Winkel haben die alten Griechen konstruiert (Stichwort: Konstruktion einer Winkelhalbierenden). Das konnten die "alten Knacker" schon 

------------------
Der vernünftige Mensch paßt sich der Welt an;
der unvernünftige besteht auf dem Versuch, die Welt sich anzupassen.

Deshalb hängt aller Fortschritt vom unvernünftigen Menschen ab.
(George Bernard Shaw)

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Zitat:
Original erstellt von Charly Setter:
Konstruktion einer Winkelhalbierenden
Thread schon gelesen? Darum geht es hier nicht!

------------------
Roland  
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adamsh
Mitglied
Forschung und Entwicklung


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Beiträge: 842
Registriert: 27.05.2006

Halbwegs Systemadministration und -entwurf....

erstellt am: 19. Feb. 2008 18:48    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für MartinKern 10 Unities + Antwort hilfreich

Beweis in zwei Schritten, Skizze:
1) nach Euklid http://de.wikipedia.org/wiki/Euklids_Beweis_der_Irrationalit%C3%A4t_der_Wurzel_aus_2  Nachweis, dass die Wurzel aus 2 irrational ist, also nicht als Bruch q/p, q,p natuerliche Zahlen darstellbar ist,.
2) damit ist aber 1/wurzel(2) auch nicht als Bruch darstellbar, denn dieser mueszte ja dem Bruch 1/(q/p)=p/q sein. Widerspruch zu 1)

HA

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