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Hallo in die Runde,

hier eine Fragestellung: wieweit lässt pi sich auf gleichseitige konvexe n-Ecke übertragen? Damit in Zusammenhang steht der durchschnittliche Durchmesser.

Kreis:
u... Umfang
d... Durchmesser
d'... durchschnittlicher Durchmesser
pi... Kreiszahl
d = d'
u = d * pi = d' * pi

ne[n]... Analogon zu pi für regelmäßige konvexe n-Ecke, n >= 3 (n->inf.: ne -> pi)

Wie lassen ne[n] und d'[n] sich berechnen?

Bsp. Quadrat, n=4:
s... Seitenlänge
u... Umfang
d'... durchschnittlicher Durchmesser
ne... "Quadratzahl"
M... Mittelpunkt
E... Eckpunkt
H... Mittelpunkt zwischen zwei benachbarten Eckpunkten (Abstand s)

Zur Vereinfachung könnte man ein Dreieck M_E_H betrachten:
Strecke M_H = s * 1/2
Strecke M_E = s * sqr(2)/2

M_H < d'[4]/2 < M_E (Ober- und Untergrenze)
u = 4*s = 8*M_H = d'[4] * ne[4]

Fragliche Durchschnittsberechnung mittels Ober- und Untergrenze: d'[4] = (sqr(2)*s + s) / 2; für s=1 wäre dann: d'[4] = (sqr(2)+1)/2 = 1,2071 => ne[4] = 3,3137

Ansatz evtl. über ein Flächenintegral, oder Länge der Trennlinie zweier Teilflächen in bestimmter Relation zueinander?!

Ideen?

Grüße, Carsten

[Diese Nachricht wurde von Carsten Storm am 01. Mai. 2019 editiert.]

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4EckZahl.jpg

Angehängt eine Illustration.

orange... Strecke M_E = Obergrenze > d'[4]
rosa... Strecke M_H = Untergrenze < d'[4]
rot... Strecke M_S = d'[4]???

Über den (mir sehr fraglichen) Ansatz u[n] = ne[n] * d'[n] (analog u = pi * d) komme ich für u[4]=4 (wegen s=1) und nach Umrechnung von s=sqr[pi] zu s=1 zu folgendem:
d'[4] = 1,1284 => ne[4] = u[4]/d'[4} = 3,5448

Dies abweichend von der Näherung vom 1.5. mittels Durchschnitt aus Ober- und Untergrenze:
d'[4] = 1,2071 => ne[4] = u[4]/d'[4} = 3,3137

...?

Grüße, Carsten

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Deine Fragestellung ist mir nicht ganz klar.
Meinst Du so etwas?

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Gert Dieter 

Selbst denken ist der höchste Mut.
Wer wagt, selbst zu denken, der wird auch selbst handeln.
Bettine von Arnim

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Hallo Gert Dieter,

dein link, Annäherung durch Vielecke, um diese selbst geht es, in Analogie:
Kreis: u = pi * d
regelmäßige n-Ecke: u[n] = ne[n] * d'[n]
dabei auch die Frage wie man die durchschnittlichen Durchmesser d'[n] berechnet, beim Kreis d'=d=konst., beim Quadrat z. B. aber Variierung zwischen M_E und M_H, siehe Grafik. Da die Strecken bei M zusammenlaufen (sozusagen schmaler werden), Frage wie man sie untereinander gewichtet.

Grüße, Carsten

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Zusammenfassung meiner Ansätze zur Berechnung des Durchschnittsdurchmessers fürs Quadrat d'[4]
Seitenlänge s = 1, Obergrenze = sqr[2], Untergrenze = 1

a)
mittels Ober- und Untergrenze -> (sqr[2]+1)/2 = 1,2071

b)
verschiedene Schrittweiten zwischen Ober- und Untergrenze:
0,1 -----> 1,15372144
0,01 ----> 1,14838667
0,001 ---> 1,14785289
0,0001 --> 1,14779951
0,00001 -> 1,14779417

c)
Schnittpunkt für Quadratur des Kreise -> 1,128379167

d)
Grenzlinie bei Teilung in gleich große Halbflächen -> sqr(5)/2 = 1,118

=> ne[4] ergibt sich dann jeweils mit u = 4s = 4 = d'[4] * ne[4] <=> ne[4] = 4 / d'[4]

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Edward J.Goodwin wollte das vor langer Zeit schon gelöst wissen  .
Allerdings mit sehr wenigen Ecken.

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Der Clown ist die wichtigste Mahlzeit am Tag.

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@nightsta1k3r: für den Kreis ist die Aufgabe gelöst, d'[∞]=d, ne[∞] = pi.

Es fehlen d'[n] und ne[n] für n, 3 <= n < ∞

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