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Solver-Test-B-01.pdf Solver-Test-B-01.zip

Hallo

momentan suche ich nach der Möglichkeit eine Blechdose zu optimieren.

Bevor ich da mal in Turbocad nach einer Möglichkeit suche - versuche ich meine mathematischen Kenntnisse aufzufrischen.

Dazu habe ich mal ein Beispiel aus dem www aufgegriffen und mit
dem Excel Solver sowie mit Funktionsgraphen bestimmt.

Bei meiner rein mathematischen Lösung bin ich in einer Sackgasse gelandet.
Das ist ein Beweis aber keine Berechnung geworden.
Vielleicht hat da einer einen Lösungsansatz    

Ich habe auch mal die gezippte Exeldatei angehangen. (Excel 2010)

Schöne Grüße
Leopoldi

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Heimwerker

[Diese Nachricht wurde von Leopoldi am 29. Nov. 2014 editiert.]

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Guten Abend Ulrich,

vermutlich kann ich Dir helfen -- hoffe ich mal:

Ich will mich nicht im Layout mathematischer Formeln verkünsteln, daher versuche ich es als ASCII-Text:

V = Volumen, O = Oberfläche, r = Zylinderradius, h = Zylinderhöhe, Pi = 3.1415...

V = Pi r^2h
O = 2 Pi r h + 2 Pi r^2

V nach h auflösen und in O einsetzen:

O = 2 V / r + 2 Pi r^2

Das Minimum von O findet man durch Ableitung nach r und diese wird gleich Null gesetzt:

dO/dr = -2 V / r^2 + 4 Pi r = 0

Daraus folgt

r = (2 V / (4 Pi)) ^ 1/3 = 5.42

Dieses Ergebnis in h ganz oben einsetzen gibt h = V / (Pi r^2) = 10.84

Ich hoffe sehr, dass es das ist, was Du wissen wolltest!

Beste Grüße

Hermann-Josef

PS: Der Solver in EXCEL ist ein traumhaftes Werkzeug, da stimme ich Dir voll und ganz zu!

[Diese Nachricht wurde von jossie am 29. Nov. 2014 editiert.]

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Hallo Hermann-Josef

Oweh - an eine Ableitung habe ich nun überhaupt nicht mehr gedacht.
Wie bei der graphischen Lösung ersichtlich ist die Steigung im Minimum = 0
und an diese Funktion kommt man durch die 1. Ableitung.

Vielen Dank
Leopoldi

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Heimwerker

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Guten Morgen Ulrich,

heute Nacht fiel mir ein, dass man das auch allgemeiner lösen kann, indem man V nicht einsetzt sondern aus den Gleichungen für r und h eliminiert:

h = V / (2 pi r^2)     und r = (2 V / (4 pi))^1/3

-->  r = (2 h pi r^2 / (4 pi) ) 1/3

     r^3 = 2 pi h r^2 / (4 pi)

     2 r = h

Das gilt jetzt ganz allgemein für die minimale Oberfläche bei gegebenem Volumen. Das ist die Zylinderform, die der Kugel am nächsten kommt, denn die Kugel hat das größte Volumen bei kleinster Oberfläche. Ich hatte zunächst gedacht, dass dieser Zylinder in eine umbeschriebene Kugel passt. Aber das stimmt, glaube ich, so nicht. Muss das nochmals nachrechnen.

Beste Grüße und noch einen schönen ersten Advent wünscht

Hermann-Josef

[Diese Nachricht wurde von jossie am 30. Nov. 2014 editiert.]

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OptimierungDose.pdf

Hallo Hermann-Josef

hab meine (Exel-) PDF überarbeitet (S4).

Schönen Tag noch
Leopoldi

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Heimwerker

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Hallo Ulrich,

das mit der umbeschriebenen Kugel geht immer (umbeschriebener Kreis um Rechteck und das Ganze um die Vertikale rotiert). Ich fragte mich, ob dem Fall, dass h = 2r eine besondere Bedeutung zu kommt.

Ich habe mir das Verhältnis V(umbeschriebene Kugel) / Zylinder mal hingeschrieben. Ich kann leicht zeigen, dass für h >> r und für r >> h das Verhältnis gegen 0 geht. Dazwischen muss es ein Maximum geben. Schreibt man für h = x*r so ergibt sich für das Verhältnis der Volumina eine Formel, die nur noch x enthält (r kürzt sich raus). Deren erste Ableitung liefert dann das Maximum. Da mir der analytische Weg zu kompliziert wurde, habe ich die Funktion in EXCEL aufgetragen. Das Maximum liegt bei etwa 1.4, wahrscheinlich ist es Wurzel(2). Der Solver findet 1.41421356, also Wurzel(2). Damit ist es aber nicht das von Dir gesuchte Verhältnis für die minimale Oberfläche. Denn das war ja x = 2.

Ich hoffe, ich habe keinen Rechenfehler gemacht.

Beste Grüße

Hermann-Josef

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OptimierungDose1.jpg

Hallo Hermann-Josef

ich kann deinen Ausführungen nicht ganz folgen.

Die Raumdiagonale "D" im Zylinder ist gleich dem Durchmesser der umbeschriebenen Kugel.

Für den Idealfall eines Oberflächenminiums des Zyl. -bei gegebenem Volumen-  sind 2r und h = Wurzel "D" = "D"/1,414.. .
2r = h = gleichschenkliges Dreick.

Wenn du innerhalb der umbeschrieben Kugel r und h variierst geht das Volumen nach -> 0.

Schöne Gruße
Leopoldi

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Heimwerker

[Diese Nachricht wurde von Leopoldi am 01. Dez. 2014 editiert.]

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Moin,
wie wärs mit folgendem, simplen Ansatz:
Der Zylinder ist eigentlich ein -um 180 Grad- rotiertes Rechteck. Was bei Zylinder die Oberfläche darstellt, ist hier der Umfang.
Schauen wir uns nur dieses Rechteck an, so ist das Optimum erreicht, wenn das Rechteck ein Quadrat wäre. Und das Quadrat bildet sich aus D=h.
Gruß Frank

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Zylinder_in_Kugel.pdf

Hallo zusammen,

in meinem Ergebnis von gestern muss noch irgendwo einen Fehler stecken. Der Ansatz von Frank ist intuitiv. Ich hatte ja schon geschrieben: umbeschriebener Kreis um Rechteck und das Ganze um die Vertikale rotiert. Aber ich wollte das analytisch sehen.

Habe heute nun die besagte Funktion f = Volumen(Zylinder) / Volumen (umbeschriebene Kugel) doch mal differenziert und gleich Null gesetzt. Da bekomme ich auch das raus, was ich erwartet hätte, nämlich dieser Fall ist identisch zum ursprünglichen Problem, dessen Lösung h = 2r war. Das Dumme ist nur, wenn ich die Funktion f in EXCEL zeichnen lasse, dann bekomme ich das Maximum bei Wurzel(2). Da muss also irgendwo bei mir noch ein Fehler sein, vermutlich in der Formel in EXCEL. Melde mich, wenn ich ihn gefunden habe.

Anbei meine Rechnung.

Beste Grüße

Hermann-Josef

PS: PDF gelöscht, da Rechenfehler, siehe nächsten Beitrag

[Diese Nachricht wurde von jossie am 02. Dez. 2014 editiert.]

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Zylinder_in_Kugel.pdf

Hallo zusammen,

es ist ein einfacher Algebrafehler gewesen. Ich habe das PDF entsprechend korrigiert.

Aber das Ergebnis überrascht mich doch. Die 2-dimensionale Anschauung von Frank führt in die Irre! Das hätte ich nicht gedacht, so hatte ich ja auch argumentiert. Das Ergebnis ist tatsächlich h = Wurzel(2) * r und nicht, wie bei Ulrichs ursprünglichem Problem, h = 2*r. Ich vermute, dass das an der gekrümmten Oberfläche des Zylinders liegt. Würde man statt eines Zylinders einen Würfel nehmen, dann hat Frank vermutlich recht. Wer rechnet das nach?

Oder mache ich noch was anderes falsch? Aber nach so viel Überprüfen glaube ich das eigentlich nicht mehr ...

Vielen Dank an Ulrich für diese Denksportaufgabe! Hat Spaß gemacht.

Beste Grüße

Hermann-Josef

PS: Wollte eigentlich einen Smiley einfügen, klappt bei mir aber nicht. Weiß jemand, wie das geht? Ich dachte, ich muss nur unten auf einen in der Auswahl klicken und dessen Code wird dann eingefügt ...

[Diese Nachricht wurde von jossie am 02. Dez. 2014 editiert.]

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OptDose.tcw

Stimmt, meine Überlegung war zu einfach. Bei steigendem Abstand von der Achse ist die Volumenzunahme nicht linear.
Aber, da wir ja hier im TC-Wunderland sind, ist eine nette Christbaumkugel draus geworden. Allerdings hält mich die 54sec-Renderzeit davon ab, daraus ein Adventsgesteck zu bauen.
Gruß Frank

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Volumenverlauf.jpg

Hallo zusammen,

hier der grafische Zylindervolumenverlauf innerhalb einer Kugel mit Excel 2002

Grüße
Franz

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OptimierungDose4.pdf OptimierungDose4-Excel97-2010.zip

Hallo

ich habe in meiner Beschreibung die Beiträge von Hermann-Josef und Franz aufgenommen.

Als zip die Excel- Dateien in Version 97-2003 und Version 2010.

Schöne Grüße
Leopoldi

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Heimwerker

[Diese Nachricht wurde von Leopoldi am 10. Dez. 2014 editiert.]

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