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Autor Thema:   Lognormalverteilung in statistischer Toleranzrechnung (3611 mal gelesen)
dreas70
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wildfire 4
SAP R3 Dokuverwaltung

erstellt am: 21. Feb. 2013 11:48    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities

Guten Morgen,

ich beschäftige mich zur Zeit mit statistischer Toleranzrechnung im herkömmlichen Sinn und als Zusatz mit einer anschließenden Monte Carlo Analyse.

Bei einer speziellen Verteilungsfunktion stoße ich jedoch an Grenzen. Für ein null begrenztes Maß möchte ich in die Berechnung eine logarithmische Normalverteilung als Auswahlmöglichkeit aufnehmen. Der Nutzer des kleinen Excel-Programms soll diese Verteilungsform und einen cpk Wert (hinsichtlich zulässiger Überschreiter)  auswählen können.

Nach der statistischer Toleranzrechnung müsste die Varianz dieser Verteilungsform in die Gesamtberechnung eingehen.

Die Idee war nun:

Die Toleranzgrenzen zu logarithmieren, um mit der Normalverteilung zu rechnen

Dann über cpK = kritischer Abstand / 3 Sigma und Umstellung der Formel nach Sigma die Standardabweichung dieser Normalverteilung zu berechnen

Diese dann in den Streufaktor der logarithmischen Normalverteilung zurück transformieren und zu quadrieren, um die Varianz für die Rechnung zu erhalten.

Wo liegt mein Verständnisproblem?

Wenn ich die obere Toleranzgrenze logarithmiere bekomme ich einen Wert!

Wenn ich die untere Toleranzgrenze Null logarithmiere bekomme ich -unendlich! Da ich für die Standardabweichung den kritischen Abstand des Medians der Normalverteilung benötige, hilft mir dies nicht weiter. Ich benötige ja zwei Grenzen und hier liegt eine im Unendlichen!

Zum zweiten habe ich das Problem, ob überhaupt die rücktransformierte Standardabweichung der Normalverteilung (=Streufaktor der Lognormalverteilung) mit der Standardabweichung der Lognormalverteilung gleich zu setzen ist?

Ich benötige ja für die Toleranzrechnung das Quadrat der Standardabweichung (=Varianz der Verteilung)

Ich muss erwähnen, das ich kein Statistikexperte bin und mir das Kopfzerbrechen bereitet.

Vielleicht hat jemand eine Idee. Die Schwierigkeit besteht darin, dass ich keine Meßwerte habe, jedoch eine Erwartungshaltung an die Verteilung.

Gibt es vielleicht empfehlenswerte Literatur, welche sich auch mit Betragsverteilungen etc. im Kontext statistische Toleranzrechnung  beschäftigt?

Die die ich finde, beschäftigt sich ausschließlich mit Messungen und deren Auswertungen. Ich möchte jedoch im Vorfeld "simulieren", d.h. Meßwerte sind nicht vorhanden!

Danke im Voraus

dreas 70

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Rainer Schulze
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erstellt am: 23. Feb. 2013 21:07    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für dreas70 10 Unities + Antwort hilfreich

>>Wo liegt mein Verständnisproblem?
>>Wenn ich die untere Toleranzgrenze Null logarithmiere bekomme ich -unendlich!

Ja, das habe ich vor vielen Jahren mal so in der Schule gelernt.
Und damit wird dieser Versuch der Transformation offenbar hinfällig.

>>eine logarithmische Normalverteilung

Zunächst einmal bezeichnet "Normalverteilung" üblicherweise die Gauß'sche Verteilungsfunktion. Du meinst vermutlich eine auf X=0 "normierte" Verteilung.
Nenn mir doch mal einen praktischen Anwendungsfall für eine logarithmische Verteilung.
Ich bin bislang immer mit Gleichverteilung und Gauß'scher Verteilung zurecht gekommen.
Meine mathematischen Nachschlagewerke behandeln zwar eine exponentielle Verteilung, aber eine logarithmische Verteilung wird nicht erwähnt.

>>Die Toleranzgrenzen zu logarithmieren, um mit der Normalverteilung zu rechnen.

Die Falle liegt in der Tatsache, daß Deine Transformation auch die Rechenregeln transformiert: Die Multiplikation wird zur Addition, die Potenzierung zur Multiplikation. Für Addition / Subtraktion gibt es keine Entsprechung.
Die Rücktransformation würde somit irgendwelche unsinnigen Werte geben.

Ich bin nun kein geübter Mathematiker.
Daher kann ich Dir nur empfehlen, mal eine gute Bücherei aufzusuchen, um Dich schlau zu machen.

------------------
Rainer Schulze

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dreas70
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wildfire 4
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erstellt am: 25. Feb. 2013 08:27    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities

Hallo,

Eine logarithmische Normalverteilung ist eine schiefe Verteilung, d.h. sie ist nicht symmetrisch, wie die Gauß´sche Normalverteilung. Logrithmiert man diese Verteilung, dann erhalte ich eine transformierte Verteilung der Meßwerte. Diese logarithmierte Verteilung entspricht dann wieder einer Normalverteilung, welche relativ einfach zu händeln ist.

Ich kann mit der logarithmierten Verteilung genauso rechnen, wie mit einer normalverteilten Funktion, muß allerdings die logaritmierten Werte nehmen. Damit sind cpK Werte berücksichtigbar.

Das Ganze hat seine Berechtigung bei nullbegrenzten Merkmalen. Dort kann ich keine Normalverteilung ansetzen, denn diese "schwingt" mit ihren Ergebnis auch in negative Bereiche. Wenn der "Mittelwert" nahe Null liegt, bekomme ich Überschreitungsanteile, welche im negativen Bereich liegen. Auch bei 3 Sigma Entfernung des Mittelwertes von Null gibt es negative Ausschußanteile. Das ist bei nullbegrenzten Merkmalen aber nicht möglich.

Die logarithmische Normalverteilung lässt "Überschreiter" im negativen Bereich nicht zu.

Ein Beispiel ist z.B. das Gewicht. Dieses kann nur positiv sein. Wenn ich also Meßwerte habe, welche zwischen Null und einen Wert x nahe Null liegen und dort eine Normalverteilung annehme, dann kann ein gewählter cpk ergeben, dass es Überschreiter ins positive (richtig) aber auch ins negative(falsch) geben kann.

Ein Beispiel im Maschinenbau wäre auch die Rauheit. Die kann nicht negativ werden.


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Rainer Schulze
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erstellt am: 25. Feb. 2013 09:07    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für dreas70 10 Unities + Antwort hilfreich

>>Eine logarithmische Normalverteilung ist eine schiefe Verteilung ...

Tut mir leid, dass ich Dich falsch verstanden habe.

>>Das Ganze hat seine Berechtigung bei nullbegrenzten Merkmale ...
>>Ich kann mit der logarithmierten Verteilung genauso rechnen ...

Man lernt nie aus. Aber wie passt das zu Deiner Erfahrung mit dem Logarithmieren?
-> Wenn ich die untere Toleranzgrenze Null logarithmiere bekomme ich -unendlich

Wie bereits geschrieben, bin ich kein geübter Mathematiker.
Kannst Du mir die Zulässigkeit Deiner Transformation mathematisch erklären?

>>Ein Beispiel ist z.B. das Gewicht. Dieses kann nur positiv sein.

Letzteres ist zweifellos richtig.
Aber ich verstehe nicht, warum die Verteilungsfunktion der Logarithmus einer Normalverteilung sein soll.
Welche Mechanismen betrachtest Du, wenn Du eine Streuung des Gewichts berechnen willst?
Wäre es nicht plausibel anzunehmen, es handele sich um eine einseitig beschnittene Normalverteilung?

Und nimm mir meinen Scherz nicht übel, aber eine Waage kann durchaus ein negatives Gewicht anzeigen.

------------------
Rainer Schulze

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dreas70
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erstellt am: 25. Feb. 2013 10:16    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities

Hallo Rainer,

ich bin leider auch nicht der geübte Mathematiker, um diese Funktion herzuleiten. Man findet diese z.B. in Wikipedia. Ich habe ja ein kleines Toleranzberechnungsprogramm und habe darin Dreiecks-, Rechteck- und Normalverteilung integriert.

Von einem Kollegen kam der Einwand, dass hier nullbegrenzte Verteilungen fehlen. In meinem Programm wollte ich dann wenigstens eine oder zwei dieser Verteilungen anbieten. Das mit der einseitig beschnittenen Normalverteilung ist eine Variante, wobei das auch nicht ganz einfach ist, weil ja der cpk Wert den kritischen Abstand des Medians von einer der Toleranzgrenzen beinhaltet. Und da Median und Toleranzgrenze aufeinanderfallen, wäre dieser Null und somit cpK = Null. Das würde die Prozeßfähigkeit außer Kraft setzen. Der Nutzer wird ja nie als Eingabe cpK=0 eingeben.

Ich denke, ich löse dies anders. Ich nehem eine Gaußverteilung mit Mittelwert Null, simuliere in einer Montecarloanalyse diese Verteilung und nehme von allen negativen Werten den Betrag und schlage die Wahrscheinlichkeiten den positiven Werten zu. Ich hoffe, dass das korrekt ist. Ich schlage ja die 50% negativen Werte den 50% positiven hinzu und erhalte meine 100%. Damit könnte ich die ursprüngliche Gaußfunktion nutzen, um dort mit cpK´s rechnen. Das muß ich aber erstnochmal simulieren, ob dies richtig ist. Ich glaube, dass man das Betragsverteilung 1. Art nennt.

Die logarithmische Normalverteilung wollte ich als zweite Variante aufnehmen. Und wenn ich diese beweisen müßte, müßte ich folgendermaßen vorgehen.

Ich habe zig Meßwerte und werte diese hinsichtlich Häufigkeit aus. Wenn ich mir das Ergebnis anschaue, dann stelle ich fest, dass das Ganze nicht der Normalverteilung entspricht. Um herauszubekommen, ob es dann vielleicht eine logarithmische Normalverteilung ist, logarithmiere ich die Meßwerte und trage dann die Häufigkeiten über den logarithmierten Meßwerten auf. Wenn dabei dann eine Normalverteilung entsteht sind die ursprünglichen Werte logarithmisch normalverteilt.

Jetzt kann der Einwand kommen, warum gerade nur diese zwei Verteilungen implementiert werden sollen. Das Problem der statistischen Toleranzrechnung ist, dass ich ja Annahmen zu den Verteilungsfunktionen treffen muß. Ob diese dann tatsächlich so entsteht, kann ich im Vorfeld nicht sagen. Das Ganze ist also eine Annäherung an die Wirklichkeit. Desweiteren gibt es hunderte von Verteilungsfunktionen, welche sich ergeben könnten (z.B. Rayligh, Weibull, Betragsverteilung 2. Art ....) Das kann kostenintensive Software sicher besser berücksichtigen aber ich denke, mit einer übersichtlichen Auswahl an Funktionen kommt man der Wirklichkeit nahe, ohne diese abzubilden.

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Rainer Schulze
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erstellt am: 25. Feb. 2013 13:14    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities Nur für dreas70 10 Unities + Antwort hilfreich


Prozessfaehigkeit.pdf

 
Meine Wissenslücke hat mir keine Ruhe gelassen, und ich habe mal während der Mittagspause im Internet recherchiert.
-> http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmische_Normalverteilung

Hier wird ausdrücklich ausgewiesen, dass die Dichtefunktion per Definition für x <= 0 den Wert 0 hat.

Auch das angehängte Dokument mag hilfreich sein.

------------------
Rainer Schulze

Deinen Beitrag von 10:16 Uhr habe ich erst mit Verspätung gesehen.
Vielen Dank für Deine geduldige Erklärung.

>>Das Ganze ist also eine Annäherung an die Wirklichkeit.
Wie sagt man doch so schön: Trau keiner Statistik, die Du nicht selbst manipuliert hast.

[Diese Nachricht wurde von Rainer Schulze am 25. Feb. 2013 editiert.]

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dreas70
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erstellt am: 25. Feb. 2013 14:15    Editieren oder löschen Sie diesen Beitrag!  <-- editieren / zitieren -->   Antwort mit Zitat in Fett Antwort mit kursivem Zitat    Unities abgeben: 1 Unity (wenig hilfreich, aber dennoch)2 Unities3 Unities4 Unities5 Unities6 Unities7 Unities8 Unities9 Unities10 Unities

Hallo,

danke für die Infos! Die Verteilung gibt es nicht nur bei nullbegrenzten Maßen und dort lässt sie sich schwer händeln, weil Null keine Toleranzgrenze ist. Ich bekomme also durch logarithmische Überführung einer Toleranzgrenze nicht den Median der Normalverteilung. Habe ich zwei geht das. Der liegt in der Mitte der Verteilung bei einem zentrischen Prozess

"Meine Wissenslücke hat mir keine Ruhe gelassen, und ich habe mal während der Mittagspause im Internet recherchiert."

Das geht mir hundertprozentig genauso! 

Danke für das pdf! Ich habe da auch einen interessanten Link:

http://www.qz-online.de/qz-zeitschrift/archiv/artikel/moeglichkeit-statistischer-prozessregelung-bei-nicht-normalverteilten-gestaltabweichungen-jenseits-der-normalverteilung-339986 .html

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